Algunos trazados geométricos con regla y compás

Introducción

Entendemos construcciones con regla y compás a aquellas que se pueden realizar con estos dos instrumentos pero considerando la regla, no como mediopara medir sino sólo para hacer trazos rectos. Desde este punto de vista de la escuela griega, las operaciones elementales con regla y compás serían:

Trazar una recta entre dos puntos. (regla)
Trazar el punto de intersección entre dos rectas. (regla)
Trazar una circunferencia de centro y radio dados. (compás)
Intersección de una recta y una circunferencia. (regla y compás)
Intersección de dos circunferencias. (compás)

A partir de ellas se desarrolla toda la Geometría Clásica. En este tema vamos a describir algunos trazados o procedimientos de uso habitual en el trabajo geométrico:

Transportar un segmento (Lo damos como elemental con el compás)
Trazado de la perpendicular a una recta por un punto de ella.
Trazado de la perpendicular a una recta por un punto exterior.
Trazar la mediatriz de un segmento.
Trazar una recta paralela a una dada por un punto cualquiera.
Trasladar un ángulo dado sobre una semirecta.
Dividir un ángulo en dos mitades: Bisectriz.
Tangente a una circunferencia por un punto de la misma.

La utilización conjunta de algunos de éstos métodos nos permiten la construcción de Triángulos que hemos empleado en los temas anteriores. Puedes observar ahora que, todos los procedimientos impicados allí se podían realizar con regla y compás.

Trazado de la perpendicular a una recta por un punto de ella


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Una de nuestras primeras definiciones fue la de ángulo recto. A partir de él clasificamos los tipos de ángulos y mencionamos expresamente que era un ángulos que se podía construir con regla y compás. Precisamente dos rectas perpendiculares se cortan formando cuatro ángulos iguales, rectos.

En el Applet adjunto vemos la construcción de una recta perpendicular a otra por un punto cualquiera de ésta y su justificación.

Tangente a una circunferencia por un punto de la misma


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Llamamos secante a una circunferencia a cualquier recta que la corte en dos puntos distintos.
Al segmento que determinan estos puntos dentro de la circunferencia le llamamos cuerda
Cuando la cuerda pasa por el centro de la circunferencia hablamos de diámetro.
(RAB.21)
Llamamos tangente a una circunferencia por un punto cualquiera de ella a la perpendicular en ese punto al radio que termina en él.
(RAB.22)

Trazado de la perpendicular a una recta por un punto exterior: distancia mínima


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En el Applet adjunto vemos la construcción de una recta perpendicular a otra por un punto exterior a ésta y su justificación.

Además verificamos que la distancia menor desde el punto a la recta es la que viene determinada por el segmento que va desde el punto al pie de la perpendicular. Recordemos que habíamos referenciado la distancia en función de una circunferencia.

Trazar la mediatriz de un segmento. Punto Medio


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Llamamos Mediatriz de un segmento a la perpendicular al segmento por su punto medio.

Además:
Cualquier punto que esté en la Mediatriz equidista de los extremos del segmento.
Si un punto equidista de los extremos del segmento, está en la Mediatriz.

El proceso de construcción y la justificación a las afirmaciones anteriores la vemos en el Applet adjunto.

Trazar una recta paralela a una dada por un punto cualquiera


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En el Applet adjunto vemos el proceso con detalle.

Trasladar un ángulo dado sobre una semirecta


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En todos los procesos de construcción de triángulos que realizamos al hablar de congruencia, hacíamos la operación de trasladar ángulos. Ahora vemos que esta acción también se puede efectuar utilizando sólo regla y compás.

El ejercicio que vemos con detalle en el Applet adjunto conlleva mover un ángulo sin deformarlo, manteniendo su medida.

Dividir un ángulo en dos mitades: Bisectriz


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Llamamos Bisectriz de un ángulo a la semirecta que, pasando por el vértice, lo divide en dos ángulos iguales.

Además:
Cualquier punto que esté en la Bisectriz equidista de las semirectas que definen el ángulo.
Si un punto equidista de las semirectas que definen el ángulo y el punto es interior al ángulo, está en la Bisectriz.