bolaEn un triángulo: a lados iguales se oponen ángulos iguales

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Vamos a demostrar que:
Un triángulo es Isósceles (tiene dos lados iguales) si y sólo si tiene dos ángulos iguales.
En el proceso observaremos además que los ángulos iguales son los opuestos a los lados iguales y viceversa.
  1. Si un Triángulo Tiene dos ángulos iguales, entonces, es Isósceles.
    • Partamos de un triángulo de vértices ABC. Llamamos α al ángulo en A, β al ángulo en B y γ al ángulo en C. Supongamos tiene dos ángulos iguales: α y β. (Coloca el control móvil del Applet indicando la posición adecuada.)
    • Consideremos un nuevo Triángulo B1A1C de modo que A1=B y B1=A. Llamamos α1 al ángulo en A1, β1 al ángulo en B1. (Mueve el control del Applet para que aparezca)
    • Ambos triángulos son congruentes por tener dos ángulos iguales  ( α = β1 y β = α1 )  y el lado comprendido igual  ( AB = B1A1 ) (Criterio 2), por tanto, sus tres ángulos y sus tres lados son iguales dos a dos.
      Ángulos iguales implica isóscelesLaTeX
    • De donde concluimos que los lados opuestos a los ángulos iguales, son iguales.
  2. Si un Triángulo es Isósceles , entonces, tiene dos ángulos iguales.
    • Partamos de un triángulo de vértices ABC. Llamamos α al ángulo en A, β al ángulo en B y γ al ángulo en C. Supongamos tiene dos lados iguales: AC y BC. (Coloca el control móvil del Applet indicando la posición adecuada.)
    • Consideremos un nuevo Triángulo B1A1C de modo que A1=B y B1=A. Llamamos α1 al ángulo en A1, β1 al ángulo en B1. (Mueve el control del Applet para que aparezca)
    • Ambos triángulos son congruentes por tener dos lados iguales:  ( AC = B1C y BC = A1C )  y el ángulo comprendido igual  ( γ = γ ) (Criterio 1), por tanto, sus tres ángulos y sus tres lados son iguales dos a dos.
      Isósceles implica ángulos igualesLaTeX
    • De donde concluimos que los ángulos opuestos a los lados iguales, son iguales.
  3. La generalización para triángulos Equiláteros y con tres ángulos iguales es inmediata.

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